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꿈달의 독서 산책

1+1은 왜 2일까? 페아노의 다섯가지 공리(페아노 공리)/ <공식의 아름다움_미디어 숲>을 읽고...

by 꿈달(caucasus) 2021. 11. 11.
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1+1은 왜 2일까? 페아노의 다섯가지 공리(페아노 공리)

/ <공식의 아름다움_미디어 숲>을 읽고...

 

1 더하기 1은 2입니다. 이를 수학으로 표시하면 ‘1+1=2’ 가 되지요. 많은 사람들은 1+1은 2라는 것을 다 알고 있습니다. 하지만 1+1이 왜 2일까? 하고 진지하게 고민하는 사람들은 많지 않습니다. 굳이 1+1이 2가 된다는 것을 왜 고민해야 하나 하고 물어볼지 모르겠습니다. 저도 그렇게 생각하고요. 하지만 수학자들은 이런 단순한 공식도 수학적으로 증명해야 한다고 주장합니다. 그리고 결국 이탈리아 출신의 수학자 ‘페아노’는 1+1은 왜 2가 되는가를 다섯 가지 공리로 제시함으로 1+1=2를 증명할 수 있는 ‘페아노 공리’를 만들었습니다.

 

 

요즘 수학이라는 학문에 매력을 느끼게 되었습니다. 학교다닐 때 수학시간은 항상 지루했고 선생님의 말씀은 도통 무슨 소리인지 이해가 안되었거든요. 그런데 수학이라는 학문이 알고보면 세상의 모든 현상을 명쾌한 공식으로 표시하는 아주 멋진 학문이더라구요.

 

최근에 ‘공식의 아름다움’이라는 책을 보고 있습니다. 이 책은 세상을 바꾼 23가지 공식을 소개하는데, 딱딱한 수학 예기만 하지 않고 공식과 관련한 비하인드 스토리와 이 공식이 응용되어 세상을 바꾼 혁신적인 기술 등 인문학적 지식을 함께 전달합니다. 그래서 저처럼 수학에 잼병인 사람들도 재미있게 읽을 수 있습니다. (어떤 부분은 잘 이해가 되지 않지만 그냥 그렇구나 하고 넘어가기도 했습니다.ㅋㅋ)

 

 

이 책은 원자폭탄에서 비트코인에 이르기까지 세상을 바꾼 혁명적인 23가지 공식을 소개합니다. 제가 오늘 소개하려는 1+1은 왜 2가 되는가?부터 피타고라스의 정리, 엔트로피 증가의 법칙, 맥스웰 방정식 등이 있고 응용편에는 5G 통신의 기초가 되는 섀넌 공식, AI의 사고와 관련되는 베이즈 정리, 비트코인의 초석이 되는 타원곡선 방정식 등을 소개합니다.

 

 

우선 처음 등장하는 수학의 기원 1+1은 왜 2가 되는가?를 읽고 수학자들이 명쾌하게 증명해내는 한줄의 공식에 감탄을 했습니다. 누구나 알고 있는 ‘1+1=2’ 그런데 왜 2가 되는지 수학적으로 증명해내는 것은 어렵잖아요. 평소에 생각하지도 않고요. 그런데 이 문제를 한 줄의 공식으로 설명해내는 수학자들의 논리력에 감탄했습니다.

 

 

우선 ‘페아노의 공리’를 이해하기 위해서는 5가지의 공리를 전제해야 합니다. 공리란 ‘수학에서 증명없이 자명한 진리로 인정되며, 다른 명제를 증명하는 데 전제가 되는 원리’를 뜻합니다. 그럼 이제부터 1+1은 왜 2가 되는가를 페아노의 공리에 따라 설명하고자 하니 잘 읽어보세요.

 

공리1. 최초의 1은 자연수이다.

- 망망한 우주 공간에 하나의 점(●)으로 표시되는 1이 있습니다.

 

공리2. 정해진 자연수 a마다 따름수 a’가 있습니다.

- 자연수에는 그 뒤에 따라 나오는 1개의 자연수가 존재합니다. 그것을 따름수라고 합니다.

 

공리3. 최초의 자연수 1은 어떤 자연수의 따름수가 아닙니다.

- 최초의 자연수 1은 그 어떤 자연수의 따름수가 아닙니다. 그러므로 1은 반드시 자연수의 첫 번째 수가 됩니다. 이 공리는 어떤 자연수의 따름수가 1보다 앞서가는 것을 막기 위해서입니다. 그러나 여기까지의 공리라면 2의 따름수 2’=3일 수 있고 3의 따름수 3’=3이 될 수 있습니다. 2와 3의 따름수가 같은 값을 갖는 오류가 생기게 됩니다.

 

 

공리4. 서로 다른 자연수는 서로 다른 따름수를 가진다.

- 위와 같은 오류를 피하기 위해서 공리4는 다음과 같이 정의합니다. 만약 n과 m이 모두 자연수이고 n≠m이라면 n’≠m’입니다. 그리고 반대로 b, c가 모두 자연수이고 b’=c’라면 b=c입니다. 같은 자연수의 따름수는 같고, 다른 자연수의 따름수는 같지 않다는 것입니다. 따라서 3은 2의 따름수이면서 3의 따름수가 될 수 없습니다. 그런데 만약 2 다음에 2.5와 같은 숫자가 나온다면 어떻게 해야 할까요? 2.5와 같은 비자연수의 출현을 막기 위해 공리5가 필요합니다.

 

공리5. 명제 P(n)이 자연수의 한 성질이라고 하자. P(1)이 참이고 P(n)도 참이라고 가정하면 명제 P(n’)은 참이 되어 모든 자연수에 대하여 참이 된다.

- 만약 S를 자연수계 N의 부분집합 중 하나라고 합시다. (1)1은 S의 원소이고 (2)n이 S의 원소라면 n’도 S의 원소이므로 S는 모든 자연수를 포함하는 집합입니다. 즉, S=N입니다. 다소 억지스러울 수 있지만 수학의 귀납 공리로 어떤 자연수의 성질을 정의하면 모든 자연수가 이 성질을 만족시키며, 만족하지 못하는 것은 자연수가 아님을 말합니다. 이로서 우리는 자연수계를 정의할 수 있습니다. 자연수계 N에서 원소가 공리 1~5를 모두 만족할 때 그 원소를 ‘자연수’라고 합니다. 덧셈의 정의는 다음 두 가지 규칙을 만족시키는 연산입니다. (저는 공리5는 잘 이해가 되지 않더라구요. 그래서 책의 내용을 그대로 적어봤습니다. ;;;)

 

1. 임의의 자연수 m에 대하여, 1+m=m’ 이다.

2. 임의의 자연수 m과 n에 대하여 n’+m=(n+m)’이다

 

위 식대로 1+1=2를 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

* 1+1=1’=2

→ 1+1 = 2

→ 1’ = 2

→ 2 = 2

 

* (1+1)’=1’+1=2+1=2’

→ (1+1)’ = 3

→ 1’+1 = 3

→ 2+1 = 3

→ 2’ = 3

 

1+1의 따름수는 1의 따름수의 따름수인 3이고, 2의 따름수도 3이기 때문에 페아노 공리 4에 따라 서로 다른 자연수의 따름수는 서로 다릅니다. 반대로 말하면, 두 자연수의 따름수가 같으면 이 두 자연수가 같기 때문에 1+1=2를 유도할 수 있게 됩니다.

 

오랜만에 수학 관련 책을 읽으니까 그동안 굳어있던 머리가 뜨거워지면서, 머리에 윤활유가 칠해지는 듯한 느낌을 받았습니다. 100% 이해는 못하더라도 어느정도 이치를 깨치니 감탄하게 되더군요. 그리고 수학공식이 세상을 바꾼 혁신적인 기술들에 적용되어 있다고 하니까 수학이라는 학문의 중요성에 대해 다시한번 깨닫게 되었습니다.

 

 

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